704.二分查找#

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9     
输出: 4       
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2     
输出: -1        
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示 1. 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。 2. n 将在 [1, 10000]之间。 3. nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

思路#

这道题目的前提是数组为有序数组，同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件，当大家看到题目描述满足如上条件的时候，可要想一想是不是可以用二分法了。

二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？

大家写二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。

写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。

下面我用这两种区间的定义分别讲解两种不同的二分写法。

二分法第一种写法#

第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] （这个很重要非常重要）。

区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：

while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

例如在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如下代码：

target = 2
[1, 2, 3, 4, 7, 9, 10]
L=0      M=3     R=6          M = L + (R - L) / 2;

[1,   2,   3]
L=0 M=1 R=2

代码#

function serach(arr, target) {
    let left =  0, right = arr.length - 1;
    while(left <= right){
        let middle = left + Math.floor((right - left) / 2);

        if(arr[middle] > target) {
            right = middle - 1;
        } else if(arr[middle] < target){
            left = middle + 1;
        } else {
            return middle;
        }
    }
    return -1;
}

console.log(serach([1, 2, 3, 4, 7, 9, 10], 2));
console.log(serach([1, 2, 3, 4, 7, 9, 10], 9));

时间复杂度：O(log n)
空间复杂度：O(1)

二分法第二种写法#

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如下代码所示：（注意和方法一的区别）

 target = 2
  [1, 2, 3, 4, 7, 9, 10]
   L=0      M=3         R=7          M = L + (R - L) / 2;
 
  [1,   2,   3,  4]
   L=0   M=1   R=3

代码#

function serach2 (arr, target) {
    let left = 0, right = arr.length;
    while(left < right){
        let middle = left + ((right - left) >> 1);
        if(arr[middle] > target){
            right = middle;
        } else if(arr[middle] < target){
            left = middle + 1;
        } else {
            return middle;
        }
    }
    return -1;
}

console.log(serach2([1, 2, 3, 4, 7, 9, 10], 2));
console.log(serach2([1, 2, 3, 4, 7, 9, 10], 9));

时间复杂度：O(log n)
空间复杂度：O(1)

总结#

第一个左闭右闭，行为的很容易就明白了期中的原理，但是第二种左闭右开形式的，为了取其二分位置使用了位运算，然后再左闭的位置加一，右闭的位置直接为当前middle。